Matematika Diskrit : Barisan Dan Deret Dengan Pola Soal
Matematika Diskrit : Barisan dan Deret dengan Contoh Soal
Barisan
Definisi
Barisan ialah fungsi yang memetakan himpunan bilangan bulat, biasanya berupa {1, 2, 3, …} atau {0,1, 2, …}, ke suatu himpunan S. Bayangan dari suatu bilangan lingkaran n dilambangkan dengan an, dengan an disebut suku.
Contoh
Diberikan sebuah barisan {an} dengan
maka barisan ini mempunyai suku a1, a2, a3, …, yaitu
Latihan 1
Tentukan 5 suku pertama barisan-barisan berikut :
- an = n+1
- an = n^2
Barisan Geometri
Definisi
Barisan geometri ialah barisan dengan bentuk a, ar, ar2, ar3, …, arn, … dengan a ialah suku pertama dan r ialah rasio yang berupa bilangan riil.
Rumus Mencari Rasio
Kalau sudah diketahui
dan 
, kini pelajari rumus suku ke – n (
) dan juga rumus jumlah n suku yang pertama (
)Rumus Mencari Un
Untuk mencari suku ke n pada barisan dan deret geometri, gunakan rumus berikut ini
Contoh
Rumus Mencari Sn
ialah jumlah suku ke n pada barisan dan deret. Bagaimana cara mencari pada barisan dan deret geometri ?Contoh :
Selanjutnya mencari
dengan rumus berikut
Contoh
{cn} dengan cn = 2.5n ialah barisan geometri dengan a = 2 dan r=5, yang suku-sukunya ialah 2, 10, 50, 250, …
Barisan Aritmatika
Definisi
Barisan aritmatika ialah barisan dengan bentuk a, a+d, a+2d, a+3d, …, a+nd, … dengan a ialah term pertama dan d ialah beda
Rumus Suku Ke-n Barisan Aritmatika
Setiap suku barisan aritmatika merupakan hasil penjumlahan suku sebelumnya dengan beda.
U1 = a
U2 = U1 + b = a + b
U3 = U2 + b = a + 2b
U4 = U3 + b = a + 3b
...
U3 = U2 + b = a + 2b
U4 = U3 + b = a + 3b
...
Un = Un-1 + b = a + (n - 1)b
Persamaan terakhir diatas sering disebut dengan rumus suku ke-n barisan aritmatika, yaitu :
Persamaan terakhir diatas sering disebut dengan rumus suku ke-n barisan aritmatika, yaitu :
Un = a + (n - 1)b
Contoh
{bn} dengan bn = 1 + n.3 ialah barisan aritmatika dengan a = 1 dan d = 3, yang suku-sukunya ialah 1, 4, 7, …
Contoh Tabel Barisan Khusus
Latihan 2
Dari barisan berikut, manakah yang merupakan barisan geometri, dan manakah yang merupakan barisan aritmatika?
- 2, 4, 8, 16, …
- 1, 4, 7, 10, …
- 1, -1, 1, -1, …
- 5, 9, 13, 17, …
Deret
Penjumlahan suku-suku dalam sebuah barisan
Notasi
Contoh
Hasil penjumlahan
Deret Geometri
Teorema
Contoh
Diberikan suatu deret geometri 2 + 6 + 18 + 54 + …
Berapakah jumlah 10 suku pertama dari deret ini ?
Didapat bahwa a=2, r=3, dan n=9. Maka:
Beberapa Rumus Penjumlahan Deret
Latihan 3
Barisan dan Deret Tak Hingga
Barisan dan deret tak hingga ialah susunan bilangan yang terurut sesuai denganurutan bilangan asli, tepatnya suatu barisan tak terhinggaadalah sebuah fungsi yang tempat asalnya ialah himpunan bilangan asli.
Deret Geometri Tak Hingga Divergen
Deret geometri tak hingga divergen ialah suatu deret yang nilai bilangannya semakin membesar dan tidak sanggup dihitung jumlahnya.
Contoh
1, 3, 9, 27, 81, ……………
Deret Geometri Tak Hingga Konvergen
Deret geometri tak hingga konvergen merupakan suatu deret di mana nilai bilangannya semakin mengecil dan sanggup dihitung jumlahnya.
Contoh
Menghitung Barisan dan Deret Tak Hingga
Sebelum masuk ke rumus, ada syarat terlebih dahulu jikalau kau bertemu dengan deret geometri tak hingga konvergen, yaitu rasionya atau pengalinya harus antara -1 hingga 1 (-1 > r > 1) dan ini berlaku untuk negatif dan positif.
Contohnya jikalau kita kalikan dengan 
Berikut perhitungannya
Dengan Kesimpulan
Latihan 4
- Diketahui a,b, dan c ialah tiga suku pertama suatu barisan aritmetika dengan b > 0. Jika
maka nilai b adalah
- Diberikan barisan geometri a, a+b, 4a+b+9. Jika a, a+b, dan 4a+b merupakan barisan aritmatika, maka b =
- Diketahui perbandingan suku pertama dan suku ketiga dari suatu barisan aritmetika ialah 2 : 3. Perbandingan suku pertama dan suku kedua dari barisan tersebut adalah..
- Jika
ialah barisan geometri yang memenuhi
, dan
, maka
- Hasil bagi suku pertama oleh suku ke-3 suatu barisan aritmetika ialah
. Jika suku ke-5 barisan tersebut ialah 12, maka suku ke-7 ialah ….
