Matematika Dasar : Berdiri Datar, Rumus Berdiri Datar, Pembuktian Rumus, Dan Pola Soal

Matematika Dasar : Bangun Datar, Rumus Bangun Datar, Pembuktian Rumus, dan Contoh Soal

Keliling dan Luas Bangun Datar

Keliling ( perimeter )

Jumlah sisi-sisi yang membatasi sebuah berdiri datar

Luas ( area )

Ukuran dua dimensi suatu bab permukaan yang dibatasi dengan jelas

Tabel Rumus Bangun Datar

Pembuktian Rumus Bangun Datar

Pembuktian Rumus Persegi

Gambar di atas merupakan gambar kumpulan persegi. Untuk menandakan rumus luas persegi maka kita sanggup memperhatikan gambar persegi yang ada diatas, dimana terdapat persegi-persegi kecil di dalam sebuah persegi yang lebih besar. kita anggap persegi-persegi kecil tersebut merupakan satuan dari persegi besar.

Dengan menganggap bahwa satu persegi kecil merupakan satu satuan, maka sanggup dikatakan bahwa persegi diatas mempunyai luas sebanyak jumlah semua persegi kecil atau 100 satuan persegi kecil.

Untuk lebih memudahkan perhitungan maka kita sanggup menghitung luas persegi dengan cara sebagai berikut

Luas Persegi = Hasil kali jumlah satuan dari kedua sisi yang saling tegak lurus

Luas Persegi = 10 x 10 = 100 satuan

Atau sanggup ditulis secara umum

Luas persegi = sisi x sisi

Pembuktian Rumus Persegi Panjang

Untuk menandakan rumus luas persegi panjang, tidak jauh beda dengan cara menandakan rumus luas persegi. Rumus luas persegi panjang ini intinya dibangun dari rumus luas persegi. Oleh alasannya yaitu itu, sebelumnya saya akan menunjukkan sebuah postulat, yaitu :

Pernyataan Hukum Postulat

Daerah yang dilengkapi oleh persegi, dimana setiap sisinya mempunyai panjang a, maka persegi ini mempunyai luasan yang sama dengan a pangkat 2.

Kemudian dari Postulat di atas menghasilkan sebuah teorema untuk Luas Persegi Panjang, yaitu :

Luas suatu persegi panjang yang panjang sisinya a dan b yaitu a.b

Bukti Teorema

Misal kita konstruksikan Persegi Panjang dari suatu persegi mirip pada gambar dibawah ini.

Bedasarkan dari gambar diatas dan berdasarkan Postulat, maka :

(a + b)^2 = Luas R1 + Luas R2 + Luas R3 + Luas R4

a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + Luas R2 + Luas R3 + b^2

alasannya yaitu Luas R2 = Luas R3, berakibat :

a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + 2 Luas R2 + b^2

2a.b = 2 Luas R2

a.b = Luas R2 = Luas Persegi Panjang ( TERBUKTI )

Pembuktian Rumus Segitiga

Segitiga mempunyai banyak rumus untuk mencari luasnya. Setiap rumus mempunyai waktu tersendiri untuk menggunakannya, tergantung dari soal yang diberikan.

Berikut beberapa pembuktian rumus luas segitiga:

1. Pembuktian rumus L = 1/2 (alas x tinggi)

Kasus 1 Untuk Segitiga Siku-Siku

Luas Persegi Panjang = Luas R1 + Luas R2

a.b = 2 Luas R1 ( alasannya yaitu Luas R1 = Luas R2 )

1/2 (a.b ) = Luas R1

dengan a = bantalan dan b = tinggi

sehingga

L = (1/2) x bantalan x tinggi

Kasus 2 Untuk Segitiga Sama Kaki

Luas Persegi Panjang = Luas R1 + Luas R2 + Luas R3 + Luas R4

2.a.t = 4 Luas R2 (karena Luas R1 = Luas R2 = Luas R3 = Luas R4)

2/4 (a.t) = Luas R1 = L

1/2 (a.t) = Luas R1 = L

dengan a := bantalan dan t := tinggi

sehingga

L = 1/2 (alas x tinggi)

Kasus 3 Untuk Segitiga Sembarang

Luas Persegi Panjang = Luas R1 + Luas R2

Luas R1 + Luas R2 = b.t

alasannya yaitu Luas R1 = Luas R2, berakibat Luas R1 = 1/2(b.t)

1/2 ((a + b).t) = 1/2(b.t) + Luas

1/2(a.t) +1/2(b.t) –1/2(b.t) = Luas

1/2(a.t) = Luas

dengan a := bantalan dan t := tinggi

sehingga

L =1/2( bantalan x tinggi)

2. Pembuktian Rumus L = √(s (s-a )(s-b)(s-c))

sin2 A + cos^2 A = 1

sin2 A = 1 – cos^2 A

sin2 A = (1 + cos A) (1 – cos A )

Ingat hukum cosinus:

Ingat bahwa s = ½ (a + b + c), maka

1. (a + b + c) = 2s

2. (b + c + a) = (a + b + c) – 2a = 2s – 2a = 2 (s – a )

3. (a + b – c) = (a + b + c) – 2c = 2s – 2c = 2 (s –c )

4. (a + c – b) = (a + c + b) – 2b = 2s – 2b = 2 (s –b )

Sehingga

Ingat bahwa luas segitiga adalah

Pembuktian Rumus Jajar Genjang

Gambar di atas merupakan sebuah jajar genjang dengan bantalan = a dan tinggi = t

Rumus untuk mencari Luas jajar genjang = bantalan x tinggi = at. Untuk menandakan rumus tersebut maka caranya yaitu sebagai berikut.

Gambar di atas yaitu jajar genjang yang di bagi menjadi 3 bab dengan masing masing bab mempunyai luas L1, L2 dan L3. Dalam hal ini kita akan mengubah bentuk diatas dengan memindahkan bab yang mempunyai luas L3 biar sisi miring bidang L3 berimpit dengan sisi miring bidang L1. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.

Gambar di atas merupakan hasil perpindahan bidang L3 dan berbentuk persegi panjang. Karena rumus untuk mencari luas persegi panjang yaitu L = panjang x lebar maka rumus luas persegi panjang diatas yaitu L= bantalan x tinggi. alasannya yaitu persegi panjang di atas merupakan hasil perubahan bentuk jajar genjang, maka sanggup disimpulkan bahwa rumus luas jajar genjang L= bantalan x tinggi = at.

Pembuktian Rumus Trapesium

1. Trapesium Sama Kaki

Pada trapesium yang pertama ini, terdapat sebuah persegi panjang dan diapit oleh 2 segitiga yang sama besar. berikut pembuktiannya :

LTrapesium = Luas Persegi Panjang + 2 Luas Segitiga

LTrapesium = (a x t) + (1/2 x b x t)

LTrapesium = (1/2 x 2a x t) + (1/2 x b x t) + (1/2 x b x t)

LTrapesium = 1/2 x t x (2a + b + b)

perhatikan bahwa (2a + c + c) yaitu jumlah sisi yang sejajar, berakibat

LTrapesium = 1/2 x tinggi x jumlah sisi yang sejajar

2. Trapesium Sembarang

Baca Juga

Berbeda dengan trapesium pertama, di trapesium kedua ini persegi panjang diapit oleh dua segitiga yang tidak sama besar. Berikut pembuktiannya :

LTrapesium = Luas Persegi Panjang + Luas Segitiga1 + Luas Segitiga2

LTrapesium = (a x t) + (1/2 x b x t) + (1/2 x c x t)

LTrapesium = (1/2 x 2a x t) + (1/2 x b x t) + (1/2 x c x t)

LTrapesium = 1/2 x t x (2a + b + c)

Perhatikan bahwa (2a + b + c) yaitu jumlah sisi yang sejajar, berakibat

LTrapesium = 1/2 x tinggi x jumlah sisi yang sejajar

3. Trapesium Siku-Siku

LTrapesium = Luas Persegi Panjang + Luas Segitiga

LTrapesium= (a x t) + (1/2 x b x t)

LTrapesium= (1/2 x 2a x t) + (1/2 x b x t)

LTrapesium= 1/2 x t x (2a + b)

alasannya yaitu (2a + b) yaitu jumlah sisi yang sejajar, berakibat

LTrapesium= 1/2 x tinggi x jumlah sisi yang sejajar

Jadi,

Rumus Luas Trapesium = 1/2 x tinggi x jumlah sisi yang sejajar

Pembuktian Rumus Layang-Layang

LuasLayang-Layang = Luas S1 + Luas S2 + Luas S3 + Luas S4

alasannya yaitu Luas S1 = Luas S2 dan Luas S3 = Luas S4 yang merupakan Luas Segitiga, maka

LuasLayang-Layang = 1/2.a.b1 + 1/2.a.b1 + 1/2.a.b2 + 1/2.a.b2

= 1/2 x (a.b1 + a.b1 + a.b2 + a.b2)

= 1/2 x (2.a.b1 + 2.a.b2)

= 1/2 x [2.a(b1 + b2)]

= 1/2 x (a + a) x (b1 + b2)

perhatikan bahwa diagonal 1 = (a + a) dan diagonal 2 := (b1 + b2)

maka Luas Layang-Layang = 1/2 x diagonal 1 x diagonal 2

Pembuktian Rumus Belah Ketupat

Luas Belah Ketupat = Luas L1 + Luas L2 + Luas L3 + Luas L4

Perhatikan Bahwa Luas L1 = Luas L2 = Luas L3 = Luas L4 merupakan Luas Segitiga, maka

Luas Belah Ketupat = 1/2.a.b + 1/2.a.b + 1/2.a.b + 1/2.a.b)

Luas Belah Ketupat = 1/2 x (a.b + a.b + a.b + a.b)

Luas Belah Ketupat = 1/2 x (4.a.b)

Luas Belah Ketupat = 1/2 x (2.a.2.b)

Luas Belah Ketupat = 1/2 x (a + a) x (b + b)

Pembuktian Rumus Lingkaran

Untuk menandakan rumus luas bundar sanggup dipakai banyak cara diantaranya yaitu sebagai berikut:

1. Cara Euclid

Dalam menandakan rumus bundar euclid membagi bundar menjadi beberapa bab sama besar. Berikut merupakan pola gambarnya,

Kemudian Euclid mengaturnya menjadi bentuk jajar genjang, sebagai berikut :

Susunan bab bundar di atas mirip bentuk jajar genjang, dimana untuk panjang jajar genjang yaitu setengah keliling bundar ( $\pi r$ ) dan tinggi jajar genjang yaitu jari-jari bundar ( $r$ ).

Karena luas jajar genjang = Luas lingkaran

Luas bundar = bantalan x tinggi

Luas bundar = $\pi r\times r=\pi r^2$

2. Dengan Integral

Perlu diketahui bahwa persamaan umum bundar yaitu :

$x^{2}+y^{2}=r^{2}\Rightarrow+y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}$

dengan mengambil bab positif / atas sumbu x, maka

$L=2\int_{-r}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx=4\int_{0}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx=4(\frac{r^{2}}{2}(\arcsin+\frac{x}{r}+\frac{x}{r}\sqrt{1-\frac{x^{2}}{r^{2}}})|_0^{r})=2r^{2}(\frac{\Pi+}{2})=\Pi+r^{2}$

Latihan 1

Sebuah taman berbentuk empat bundar identik yang mempunyai jari-jari 7m dan dikelilingi oleh kawat mirip pada gambar berikut. Bagian berwarna kuning akan ditanami bunga matahari dan bab berwarna putih akan ditanami bunga lili.

Berapakah panjang kawat yang diharapkan untuk mengelilingi seluruh taman?
Berapakah luas taman bunga matahari?
Berapakah luas taman bunga lili?

Rumus dan Pembuktian Luas Segi-n Beraturan

Gedung Pentagon di Amerika Serikat

Bagaimana rumus luas segi n beraturan? Bagaimana mencari rumus luas segi n beraturan? Atau bagaimana bukti umum dari rumus luas segi n beraturan. Sedikit akan bahas mengenai segi n beraturan, entah itu segitiga, segiempat, segi lima, segi enam, segi tujuh, segi delapan, dan lainnya.

Untuk mencari luas suatu berdiri datar (poligon), yang kita lakukan biasanya yaitu mencari luas segitiga-segitiga kecil yang menyusun poligon tersebut. Tentunya kita tahu bagaimana rumus suatu segitiga. Banyak sekali rumus-rumus untuk mencari luas segitiga.

Semua inti dari rumusnya yaitu

$L= \frac{1}{2} \times a \times t$ .

Bagaimana caranya untuk mencari luas berdiri datar tersebut?

Bentuk berdiri datar tersebut yaitu bentuk persegi. Yang panjang setiap sisinya yaitu sama. Perhatikan persegi tersebut. Kita sanggup memandangnya sebagai 4 buah segitiga. Yaitu segitiga ABO, segitiga BOD, segitiga DOC dan segitiga COA.. Bentuk persegi tersebut yaitu segi empat yang beraturan. Mempunyai panjang DO, CO, AO, BO sama.

Lalu bagaimana mencari luasnya dengan mencari luas segitiga yang membentuknya?

Luas masing-masing segitiga tersebut yaitu sama. Karena berdiri datar ini yaitu segiempat beraturan (persegi). Luas AOB sama dengan

$\frac{1}{2} \times AO \times BO$ .

Sehingga luas segi empat beraturan adalah

$L= 4 \times \frac{1}{2} \times AO \times BO$ .

Bagaimana untuk segitiga beraturan ?

Sama halnya dengan segiempat beraturan. Untuk mencari luas segitiga beraturan juga bias didapatkan dari mencari luas segitiga yang membentuknya. Luas AOB sama dengan

$\frac{1}{2} \times AO \times BO \times sin(120)$ .

Sehingga luas segi tiga beraturan adalah

$L= 3 \times \frac{1}{2} \times AO \times BO \times sin(120)$ .

Perhatikan lagi untuk luas segiempat beraturan.

$L= 4 \times \frac{1}{2} \times AO \times BO$ .

Bentuk tersebut juga bias dituliskan

$L= 4 \times \frac{1}{2} \times AO \times BO \times sin(90)$ .

Karena

$sin(90)=1$ .

Dari konsep tersebut, kita sanggup memilih rumus untuk segi lima beraturan, segi enam beraturan, segi tujuh beraturan, segi delapan beraturan, dan luas segi n beraturan. Yaitu sebagai berikut.

$L= n \times \frac{1}{2} \times r^2 \times sin( \frac{360}{n})$ .

Itu yaitu rumus untuk segi-n beraturan. Jadi, untuk segitiga, ganti n dengan 3. Untuk segi empat, ganti n dengan empat. Untuk segilima, ganti n dengan 5, untuk segi enam, ganti n dengan 6, dan seterusnya. Ingat! ini hanya berlaku untuk segi n yang beraturan. Artinya, setiap sisinya mempunyai panjang yang sama. r di sini yaitu jarak sentra segi n dengan titik pada perpotongan sisi-sisinya.

Latihan 2

Luas suatu persegi 36 cm2. Panjang diagonal tersebut yaitu ….
Keliling persegi sama dengan keliling persegipanjang, panjang sisi persegi 12 cm dan lebar persegipanjang 6 cm, maka panjang persegipanjang tersebut yaitu ….
Suatu persegi ABCD diketahui kelilingnya 64 cm. Luasnya yaitu ….
Keliling trapesium samakaki yaitu 50 cm. Panjang sisi-sisi yang sejajar 9 cm dan 21 cm. Luas trapesium yaitu ….
Belahketupat PQRS dengan panjang diagonal 8 cm dan 6 cm. Keliling belahketupat tersebut yaitu ….
Belahketupat ABCD mempunyai keliling 100 cm dan panjang salah satu diagonalnya 40 cm. Luas belahketupat tersebut yaitu ….
Luas segitiga samakaki dengan bantalan 10 cm dan keliling 36 cm yaitu ….
Suatu belahketupat luasnya 96 cm2. Panjang salah satu diagonalnya 16 cm. Keliling belahketupat tersebut yaitu ….
Keliling suatu belahketupat 52 cm, panjang salah satu diagonalnya 24 cm. Maka luas belahketupat tersebut yaitu ….
Hitunglah luas suatu bangunan X dengan bentuk segi-7 beraturan yang panjang sisinya 72 meter !

Resep Moli

Matematika Dasar : Berdiri Datar, Rumus Berdiri Datar, Pembuktian Rumus, Dan Pola Soal

Menu Halaman Statis